Polynôme de Bernstein-Sato

Construction mathématique liée à l'étude d'intégrales et d'opérateurs différentiels

En mathématiques, le polynôme de Bernstein-Sato est une construction mathématique qui facilite l'étude de certaines intégrales ou opérateurs différentiels[1],[2]. Il tient son nom des mathématiciens Joseph Bernstein et Mikio Satō, qui l'ont découvert en 1971 et 1972[3],[4]. Ce polynôme joue un rôle important dans l'étude des équations aux dérivées partielles et est intimement lié à la construction des D-modules[5]. Enfin, il permet de démontrer la régularité de certaines constructions de physique quantique des champs[6],[7].

Histoire

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L'introduction des polynômes de Bernstein-Sato était initialement motivée par un problème posé par Israel Gelfand au congrès international des mathématiciens de 1954, à Amsterdam : si   est une fonction analytique réelle, alors on peut construire pour tout complexe   l'objet  . En tant que fonction,   est continue selon   et analytique en  , là où   est de partie réelle positive. Gelfand demande alors : peut-on prolonger analytiquement   à tout le plan complexe ?

C'est pour répondre à cette question que Sato a introduit le polynôme  , dont Bernstein a montré l'existence en général[8].

La construction a depuis été étendue à des variétés algébriques générales[9] et plusieurs algorithmes sont connus pour déterminer les polynômes de Bernstein-Sato dans des cas d'intérêt[10],[11].

Définition

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Filtration de Bernstein

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On se place dans l'algèbre de Weyl  , la sous-algèbre de   engendrée par  , où   est la dérivation par rapport à  . On utilise la notation multi-indicielle   et  . Alors la famille   est une base de  . On définit alors la filtration de Bernstein   par :

 

L'anneau gradué associé est commutatif, et isomorphe à un anneau de polynômes sur   donc noethérien.

Polynôme de Bernstein-Sato

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Soit   une indéterminée formelle, et   un polynôme non nul. Alors il existe un polynôme non nul   et un élément   tels que l'égalité suivante est vérifiée :  .

L'ensemble des   qui satisfont cette égalité forme un idéal de   ; cet idéal est principal et possède un générateur  , qui est appelé polynôme de Bernstein-Sato du polynôme  .

Exemples

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  • Considérons le polynôme   (qui correspond au calcul du carré de la norme euclidienne). On a   de sorte que le polynôme de Bernstein-Sato de   est  .
  • Considérons l'intégrale  , avec   une fonction  qui s'annule aux infinis. En intégrant par parties, on obtient   qui montre notamment que   est une intégrale bien définie et holomorphe (pour  ) et qu'elle admet un prolongement méromorphe à  , avec des pôles dans  . On reconnaît en fait la présence du polynôme de Bernstein-Sato de   calculé précédemment :  .
  • Il s'agit d'un phénomène général : l'intégrale de l'exemple précédent, où   est remplacé par un polynôme quelconque, donne lieu à une équation fonctionnelle similaire. Elle sera donc prolongeable au plan complexe de manière méromorphe, et les pôles correspondent aux zéros du polynôme de Bernstein-Sato moins un entier.
  • Soit  , alors le polynôme de Bernstein-Sato correspondant est  .

Propriétés

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Notes et références

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  1. (en) Coutinho, S. C., A primer of algebraic D-modules, Cambridge University Press, (ISBN 0-521-55908-1, OCLC 831664169, lire en ligne)
  2. (en) Kashiwara, Masaki, 1947-, D-modules and microlocal calculus, American Mathematical Society, , 254 p. (ISBN 978-0-8218-2766-6, OCLC 50773693, lire en ligne)
  3. (en) J. Bernstein, « Modules over a ring of differential operators. Study of the fundamental solutions of equations with constant coefficients », Functional Analysis and Its Applications, vol. 5, no 2,‎ , p. 89–101 (ISSN 0016-2663 et 1573-8485, DOI 10.1007/bf01076413, lire en ligne, consulté le )
  4. (en) M. Sato et T. Shintani, « On Zeta Functions Associated with Prehomogeneous Vector Spaces », Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 69, no 5,‎ , p. 1081–1082 (DOI 10.1073/pnas.69.5.1081, lire en ligne, consulté le )
  5. (en) Armand Borel, Algebraic D-modules, Academic Press, (ISBN 978-0-12-117740-9, OCLC 14904496, lire en ligne)
  6. Pavel Etingof, Quantum fields and strings : a course for mathematicians : Note on dimensional regularization, American Mathematical Society, , 723 p. (ISBN 978-0-8218-2012-4, OCLC 278001702, lire en ligne)
  7. (en) Fyodor Tkachov, « Algebraic algorithms for multiloop calculations The first 15 years. What's next? », Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, vol. 389, nos 1-2,‎ , p. 309–313 (DOI 10.1016/s0168-9002(97)00110-1, lire en ligne, consulté le )
  8. (en) David Eisenbud, Srikanth B. Iyengar, Anurag K. Singh, Toby Stafford et Michel Van den Bergh, Commutative algebra and noncommutative algebraic geometry, Cambridge University Press, , 451 p. (ISBN 978-1-107-06562-8, OCLC 930068108, lire en ligne), p. 394.
  9. (en) Nero Budur, Mircea Mustaţa et Morihiko Saito, « Bernstein–Sato polynomials of arbitrary varieties », Compositio Mathematica, vol. 142, no 3,‎ , p. 779-797 (ISSN 1570-5846 et 0010-437X, DOI 10.1112/s0010437x06002193, lire en ligne, consulté le ).
  10. Daniel Andres, Viktor Levandovskyy et Jorge Martín Morales, « Principal intersection and bernstein-sato polynomial of an affine variety », arXiv, ACM,‎ , p. 231-238 (ISBN 9781605586090, DOI 10.1145/1576702.1576735, lire en ligne, consulté le ).
  11. (en) Christine Berkesch et Anton Leykin, « Algorithms for Bernstein-Sato polynomials and multiplier ideals », arXiv:1002.1475 [math],‎ (lire en ligne, consulté le ).
  12. (en) Masaki Kashiwara, « B-functions and holonomic systems », Inventiones mathematicae, vol. 38, no 1,‎ , p. 33–53 (ISSN 0020-9910 et 1432-1297, DOI 10.1007/BF01390168, lire en ligne, consulté le )