L'opération différentielle la plus commune consiste simplement à prendre la dérivée de la grandeur considérée. Les notations usuelles pour désigner la dérivée première par rapport à une variable x sont par exemple :
ou , ou encore ou .
La notation en D est attribuée à Oliver Heaviside, qui l'a introduite dans son étude des équations différentielles pour noter des opérateurs différentiels de la forme :
Pour des dérivées d'ordre n supérieur, ces mêmes opérateurs peuvent s'écrire :
, ou encore
La notation en "prime" s'utilise plutôt pour exprimer la valeur que prend une fonction dérivée f pour un argument x :
, ou :
Deux opérateurs différentiels particulièrement fréquents sont l'opérateur nabla, défini dans une base cartésienne , par :
Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée par le symbole :
On est également amené à introduire l'opérateur différentiel du premier ordre défini par :
Dans cette définition, est la « racine de l'unité » complexe : . L'intérêt de définir cet opérateur apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.
On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice
est un -uplet d'entiers
Sa longueur est définie comme la somme des et on définit enfin la multi-factorielle :
Un opérateur différentiel est local au sens où, pour déterminer ses effets sur une fonction suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point est nécessaire.
On applique l'opérateur différentiel à la représentation de Fourier de la fonction . En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :
qu'on peut écrire : . On en déduit que :
où : . L'opérateur différentiel d'ordre vérifie donc la relation :
On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :
On appelle symbole de l'opérateur différentiel d'ordre la fonction des variables polynomiale en de degré :
de telle sorte que :
On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur à partir de son symbole . Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.
Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients ne sont pas constants, le symbole dépend des coordonnées d'espace , et l'expression n'est pas la transformée de Fourier de , c’est-à-dire que :
La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».
Symbole principal d'un opérateur différentielmodifier
On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel d'ordre la fonction :
Classification des opérateurs différentielsmodifier
L'opérateur différentiel est dit hyperbolique dans la direction au point si et seulement si : et si, pour tout non colinéaire à , les racines de l'équation :
sont toutes réelles. Si, de plus, les racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur est dit strictement hyperbolique dans la direction.
est dit (strictement) hyperbolique dans la direction dans s'il est strictement hyperbolique dans la direction pour tout point .
Exemples importants pour la physique théoriquemodifier
La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :
L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes dans :
où est le laplacien à variables d'espace, est le temps, et une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.
Opérateur différentiel à coefficients constantsmodifier
Si les coefficients sont indépendants des variables d'espace , le symbole de l'opérateur différentiel d'ordre est seulement une fonction des variables polynomiale en :
de telle sorte que :
Le symbole principal de l'opérateur différentiel d'ordre à coefficients constants est la fonction des variables :
(en) Lars Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1983-1985. Traité de référence en quatre volumes, par le récipiendaire de la médaille Fields 1962. Le volume I est sous-titré : Distribution theory and Fourier analysis, et le volume II : Differential operators with constant coefficients. Les volumes III et IV sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
(en) Lars Hörmander, Linear Partial Differential Operators, Springer-Verlag, 1963. Ce livre contient les travaux pour lesquels l'auteur a obtenu la médaille Fields en 1962.
(en) Yu. V. Egorov et M. A. Shubin(en), Foundations of the Classical Theory of Partial Differential Equations, Springer-Verlag, 2e éd., 1998 (ISBN3-540-63825-3). Premier volume d'une série qui en comporte neuf, écrits pour l'Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.
(en) Michael E. Taylor(en), Partial Differential Equations - Basic Theory, coll. « Texts in Applied Mathematics » (no 23), Springer-Verlag, 2e éd., 1999 (ISBN0-387-94654-3). Premier volume d'une série qui en comporte trois. Les volumes suivants sont consacrés à la théorie moderne via les opérateurs pseudo-différentiels.