Évaluation p-adique

En théorie des nombres, la valuation p-adique ou l'ordre p-adique d'un entier n est l'exposant de la puissance la plus élevée du nombre premier p qui divise n . Il est noté $\nu _{p}(n)$. De manière équivalente, $\nu _{p}(n)$ est l'exposant auquel $p$ apparaît dans la factorisation première de $n$.

La valuation p-adique est une valuation donnant lieu à un analogue de la valeur absolue habituelle. Alors que l'extension des nombres rationnels par rapport à la valeur absolue habituelle aboutit aux nombres réels $\mathbb {R}$, l'extension des nombres rationnels par rapport au $p$-adique la valeur absolue donne les nombres p-adique $\mathbb {Q} _{p}$.

Distribution des nombres naturels par leur valorisation 2-adique, étiquetée avec les puissances correspondantes de deux en décimal. Zéro a une valeur infinie.

Définition et propriétés

Soit p un nombre premier.

Entiers

La valorisation p-adique d'un entier $n$ est défini comme étant

$\nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {N} \cup \{\infty \}\\n\longmapsto {\begin{cases}\max(\{k\in \mathbb {N} |p^{k}\mid n\}),&{\text{si }}n\neq 0\\\infty &{\text{si }}n=0\end{cases}}\end{matrix}}$

$\mathbb {N} ^{*}$ désignant l'ensemble des nombres naturels et $m\mid n$ désignant la divisibilité de $n$ par $m$.

Par exemple, prenons $12$, qui à la valeur absolue est égale à$|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$, alors on a que $\nu _{2}(-12)=2$, $\nu _{3}(-12)=1$, et $\nu _{5}(-12)=0$ .

Parfois la notation $p^{k}\parallel n$ est utilisé pour signifier $k=\nu _{p}(n)$.

Si $n$ est un entier positif, alors

$\nu _{p}(n)\leq \log _{p}n$

car parr définition : $n\geq p^{\nu _{p}(n)}$.

Nombres rationnels

La valuation p-adique peut être étendue aux nombres rationnels par l'application définit par

$\nu _{p}:{\begin{matrix}\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}\\{\frac {r}{s}}\longmapsto \nu _{p}(r)-\nu _{(}s)\end{matrix}}$.

Par exemple, $\nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$ et $\nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$, car ${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$.

Quelques propriétés sont :

$\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)$

$\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

De plus, si $\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$, alors

$\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

p-adique valeur absolue

La valeur absolue p-adique (ou norme p-adique,^{[réf. nécessaire]} bien que ce ne soit pas une norme comme dans l'analyse) sur $\mathbb {Q}$ est la fonction

$|\cdot |_{p}\colon {\begin{matrix}\mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}\\r\longmapsto p^{-\nu _{p}(r)}\end{matrix}}$

Et $|0|_{p}=p^{-\infty }:=0,\forall p\in \mathbb {P}$.

Par exemple, $|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ et ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.$

La valeur absolue p-adique satisfait les propriétés suivantes :

Non-negativity	$|r|_{p}\geq 0$
Définit positivement	$|r|_{p}=0\iff r=0$
Multiplicatif	$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$
Non Archimédien	$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$

Comme c'est multiplicatif ($|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$ ) on a que $|1|_{p}=1=|-1|_{p}$ les racines de l'unité $1$ et $-1$ et donc on a aussi que $|{-r}|_{p}=|r|_{p}.$ La sous-additivité $|r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}$ découle de l'inégalité du triangle non archimédien $|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$.

Le choix de la base p dans l'exponentiation $p^{-\nu _{p}(r)}$ n'affecte pas la plupart des propriétés, mais garde la formule du produit :

$\prod _{0,p}|r|_{p}=1$

où le produit est pris en compte tous les nombres premiers p et la valeur absolue habituelle, notée $|r|_{0}$. Cela découle simplement de la factorisation en nombre premier : chaque facteur $p^{k}$ s'annule avec son réciproque la valeur absolue p-adique, puis la valeur absolue archimédienne habituelle les annule toutes.

Un espace métrique peut être formé sur l'ensemble $\mathbb {Q}$ avec une métrique ( non archimédienne, invariante par translation )

$d\colon {\begin{matrix}\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}\\(r,s)\longmapsto d(r,s)=|r-s|_{p}\end{matrix}}$

L'extention a $\mathbb {Q}$ par rapport à cette métrique conduit à l'ensemble $\mathbb {Q} _{p}$ de nombres p-adiques.

Voir

• nombre p -adique
• Valorisation (algèbre)
• Propriété archimédienne
• Multiplicité (mathématiques)
• Théorème d'Ostrowski
• La formule de Legendre
• Archimédien
• Distance Ultramétrique