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Coordonnées de Boyer-Lindquist

Les coordonnées de Boyer-Lindquist sont un système de coordonnées adapté aux symétries d'un espace-temps stationnaire, axisymétrique et circulaire.

• [Bini et Jantzen 2001] (en) Donato Bini et Robert T. Jantzen, « Gravitoelectromagnetism : applications to black hole circular orbits », dans J. Fernando Pascual-Sánchez, Luis Floría, Angel San Miguel et Francisco Vicente (éd. et préf.), Reference frames and gravitomagnetism, Singapour, World Scientific, coll. « Spanish relativity meeting », juillet 2001, 1^re éd., IX-367 p. (ISBN 981-02-4631-5, EAN 9789810246310, OCLC 47871365, DOI 10.1142/4710, Bibcode 2001rfg..conf.....P, S2CID 118807286, SUDOC 069721904, présentation en ligne, lire en ligne), I^re partie, chap. 1^er, p. 1-12.
• [De Falco 2019] (en) Vittorio De Falco, « Relativity of observer splitting formalism and some astrophysical applications », dans Sergio Cacciatori, Batu Güneysu et Stefano Pigola (éd. et préf.), Einstein equations : physical and mathematical aspects of general relativity : Domoschool 2018, Cham, Birkhäuser, coll. « Tutorials, schools, and workshops in the mathematical sciences / Domoschool : international alpine school of mathematics and physics », décembre 2019 (réimpr. décembre 2020), 1^re éd., XIV-357 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-030-18060-7 et 978-3-030-18063-8, EAN 9783030180607, OCLC 1156226902, DOI 10.1007/978-3-030-18061-4, Bibcode 2019eepm.book.....C, S2CID 239313708, SUDOC 258063955, présentation en ligne, lire en ligne), partie II, chap. 3, p. 227-242.

Définition mathématique d'un trou noir

La région de trou noir $B$ d'un espace-temps $(M,g)$ est définie comme $B=M\;\backslash \;I^{-}({\mathcal {I}}^{+})$.

Bibliographie

• [Ashtekar 2006] (en) Abhay Ashtekar, « Black hole mechanics », dans Jean-Pierre Françoise, Gregory L. Naber et Tsou Sheung Tsun (éd. et préf.), Gerard 't Hooft (avant-propos), Encyclopedia of mathematical physics, t. I^er : A-C, Amsterdam, AP – Elsevier, coll. « Reference work », mai 2006, 1^re éd., 21 × 28 cm (ISBN 978-0-12-512660-1, EAN 9780125126601, OCLC 492522898, HAL hal-01405827, S2CID 51846576, SUDOC 10941392X, présentation en ligne, lire en ligne), p. 300-305 (lire en ligne [PDF]).
• [Ashtekar 2010] (en) Abhay Ashtekar, « Quantum space-times », dans Vesselin Petkov (éd. et préf.), Minkowski spacetime : a hundred years later, Dordrecht, Springer, coll. « Fundamental theories of physics » (n^o 165), mars 2010 (réimpr. mai 2012), 1^re éd., XLII-326 p., 15,5 × 23,5 cm (ISBN 978-90-481-3474-8 et 978-94-007-3184-4, EAN 9789048134748, OCLC 758632540, DOI 10.1007/978-90-481-3475-5, Bibcode 2010mshy.book.....P, S2CID 118729290, SUDOC 148530842, présentation en ligne, lire en ligne), partie II, chap. 7, p. 163-196.
• [Heusler 1996] (en) Markus Heusler, Black hole uniqueness theorems, Cambridge, CUP, coll. « Cambridge lecture notes in physics » (n^o 6), juillet 1996, 1^re éd., XIII-249 p., 15,3 × 22,8 cm (ISBN 0-521-56735-1, EAN 9780521567350, OCLC 468572352, DOI 10.1017/CBO9780511661396, Bibcode 1996CLNP....6.....H, S2CID 221925059, SUDOC 025084348, présentation en ligne, lire en ligne).

Théorème de Lovelock

Le théorème de Lovelock est un théorème relatif à l'unicité de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein.

Son éponyme est David Lovelock qui l'a prouvé.

Il est énonce que :

Dans un espace-temps à quatre dimensions, le seul tenseur symétrique de rang 2 sans divergence, construit uniquement à partir de la métrique et de ses dérivés jusqu'au deuxième ordre différentiel, et préservant l'invariance du difféomorphisme, est le tenseur d'Einstein plus un terme cosmologique.

Voir aussi

Bibliographie

• [Clifton et al. 2012] (en) Timothy Clifton, Pedro G. Ferreira, Antonio Padilla et Constantinos Skordis, « Modified gravity and cosmology », Phys. Rep., vol. 513, n^os 1-3,‎ mars 2012, p. 1-189 (OCLC 5901629277, DOI 10.1016/j.physrep.2012.01.001, Bibcode 2012PhR...513....1C, MR 2900619, arXiv 1106.2476, S2CID 119258154, résumé, lire en ligne [PDF]).
• [Debono et Smoot 2016] (en) Ivan Debono et George F. Smoot, « General relativity and cosmology : unsolved questions and future directions », Universe, vol. 2, n^o 4,‎ décembre 2016, article n^o 23 (OCLC 8539436812, DOI 10.3390/universe2040023, Bibcode 2016Univ....2...23D, arXiv 1609.09781, S2CID 119236938, résumé, lire en ligne [PDF]).
• [Lamine 2023] Brahim Lamine, « Relativité générale », dans Natalie Webb (dir.), Gravitation, Londres, ISTE, coll. « Encyclopédie / sciences / Univers / cosmologie et relativité générale », mars 2023, 1^re éd., VIII-352 p., 16 × 23,4 cm (ISBN 978-1-78948-120-4, EAN 9781789481204, OCLC 1377288035, BNF 47234398, SUDOC 269367470, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 1^er, p. 1-107.
• [Lovelock 1969] (en) David Lovelock, « The uniqueness of the Einstein field equations in a four-dimensional space », Arch. Ration. Mech. Anal., vol. 33,‎ janvier 1969, p. 54-70 (OCLC 5653197170, DOI 10.1007/BF00248156, S2CID 119985583, résumé).
• [Lovelock 1971] (en) David Lovelock, « The Einstein tensor and its generalizations », J. Math. Phys., vol. 12, n^o 3,‎ mars 1971, p. 498-501 (OCLC 5542489639, DOI 10.1063/1.1665613, Bibcode 1971JMP....12..498L, MR 275835, S2CID 122221779, résumé).
• [Lovelock 1972] (en) David Lovelock, « The four-dimensionality of space and the Einstein tensor », J. Math. Phys., vol. 13, n^o 6,‎ juin 1972, p. 874-876 (OCLC 5542487354, DOI 10.1063/1.1666069, Bibcode 1972JMP....13..874L, MR 297306, S2CID 122877238, résumé).

Contrat d'échange de Sedan

Contrat d'échange de Sedan

Données clés

Type de traité	contrat d'échange
Langue	français classique

Données clés

Signé	20 mars 1651 Grand Châtelet de Paris

Parties

Parties	Sedan et Raucourt	France
Signataires	Frédéric-Maurice de La Tour d'Auvergne	Louis XIV
Ratifieurs		Louis XIV

Le contrat d'échange de Sedan est un contrat conclu à Paris le 20 mars 1651 entre Frédéric-Maurice de La Tour d'Auvergne et Louis XIV.

Le duc de Bouillon cède les principautés de Sedan et de Raucourt.

En compensation, il reçoit :

• le duché d'Albret ;
• le duché de Château-Thierry ;
• le comté d'Auvergne ;
• le comté d'Évreux, à savoir les vicomtés d'Évreux, Conches, Breteuil et Beaumont-le-Roger ;
• le comté de Beaumont, Faux, Monts et Bannes ;
• la baronnie de La Tour ;
• la châtellenie de Gambais ;
• la seigneurie de Poissy et Saint-James ;
• les justices (haute, moyenne et basse) de la ville de Nogaro et des lieux de Barcelonne, Riscle, Plaisance et Aignan.

Le roi s'engage à ériger les duchés d'Albret et de Château-Thierry en paries.

Le duc réserve ses droits sur le château de Bouillon.

Voir aussi

Bibliographie

• [Dalloz 1851] Désiré Dalloz, Répertoire méthodique et alphabétique de législation, de doctrine et de jurisprudence en matière de droit civil, commercial, criminel, administratif, de droit des gens et de droit public, t. XVII, Paris, 1851 (BNF 30296038, lire en ligne).
• [Deruelle 1975] Roger Deruelle, « Les derniers ducs de Château-Thierry », Mémoires de la Fédération des Sociétés d'histoire et d'archéologie de l'Aisne, t. XXI,‎ 1976, p. 16-32 (lire en ligne ).
• [Testut 1921] Léo Testut, « La prise de possession de la ville et comté de Beaumont en Périgord par la famille de Bouillon, en mai 1654 », Bulletin de la Société historique et archéologique du Périgord, t. XLVIII,‎ 1921, p. 192-200 (lire en ligne ).
• [Cass. civ. 1842] Cour de cassation, chambre civile, « arrêt du 5 février 1842 (comte Roy et héritiers Duval c. veuve de Fougy) », Bulletin des arrêts de la Cour de cassation rendus en matière civile,‎ 1842, arrêt n^o 19, p. 61-68 (lire en ligne ) — résumé (p. 61) suivi d'une notice et [des] motifs (p. 62-66) puis de l'arrêt (p. 66-68).

SI

Le SI est un système cohérent d'unités.

Il est fondé sur un système de grandeurs dont les sept grandeurs de base sont la longueur, la masse, le temps, le courant électrique, la température thermodynamique, la quantité de matière et l'intensité lumineuse.

Bibliographie

• [JCGM 200:2012] (en + fr) Comité commun pour les guides en métrologie (JCGM), Vocabulaire international de métrologie (VIM) : concepts fondamentaux et généraux et termes associés (JCGM 200:2012), Sèvres, Bureau international des poids et mesures (BIPM), 2012, 3^e éd., XV-[1]-91 (OCLC 812030900, lire en ligne [PDF]).

Planète bleue

Planète bleue
Périodicité	mensuelle
Présentation	Laurent Broomhead
Pays	France
Langue	français
Nombre de saisons	1
Diffusion
Diffusion	Antenne 2
Statut	arrêté

Métrique intérieure de Schwarzschild

La métrique intérieure de Schwarzschild est une solution exacte de l'équation tensorielle fondamentale de la relativité générale d'Albert Einstein. Son éponyme est Karl Schwarzschild (1873-1916) qui l'a publiée en 1916. Elle décrit le champ gravitationnel à l'intérieur d'un corps à symétrie sphérique et statique, de rayon R et de masse M, constitué d'un fluide incompressible. Elle est le premier exemple donné lors de l'enseignement de l'équation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV).

Bibliographie

• [Grøn 2016] (en) Øyvind Grøn, « Celebrating the centenary of the Schwarzschild solutions », American Journal of Physics, vol. 84, n^o 7,‎ juillet 2016, p. 537-541 (OCLC 6353174301, DOI 10.1119/1.4944031, Bibcode 2016AmJPh..84..537G, lire en ligne [PDF]).
• [Schwarzschild 1916] (de) Karl Schwarzschild, « Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie », Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften,‎ 23 mars 1916, p. 424-434 (OCLC 1181956496, Bibcode 1916skpa.conf..424S, lire sur Wikisource, lire en ligne).

Coordonnées de Minkowski

Les coordonnées de Minkowski sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisé par Minkowski.

Les trois coordonnées d'espace sont x, y et z. La coordonnée de temps est ict.

Bibliographie

• [Angel 1978] (en) Roger B. Angel, « The commensurability of scientific theories with particular reference to newtonian and relativistic mechanics », dans La sémantique dans les sciences (actes du colloque de l'Académie internationale de philosophie des sciences, tenu à Rixensart du 30 août au 3 septembre 1974), Paris, Beauchesne, coll. « Bibliothèque des archives de philosophie » (n^o 26), 1978, 1^re éd., 221 p., 22 cm (OCLC 489358309, BNF 34602756, SUDOC 000205788, présentation en ligne, lire en ligne), p. 85-101.
• [Atwater 1974] (en) Harry A. Atwater, Introduction to general relativity [« Introduction à la relativité générale »], Oxford, Pergamon, coll. « International series of monographs in natural philosophy » (n^o 63), 1974, 1^re éd., VIII-224 p., 22 cm (ISBN 0-08-017692-5 et 0-08-017718-2, OCLC 714223, BNF 44625559, DOI 10.1016/C2013-0-02577-7, SUDOC 01558710X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Mihalas et Weibel-Mihalas 1999] (en) Dimitri Mihalas et Barbara Weibel-Mihalas, Foundations of radiation hydrodynamics [« Fondements de l'hydrodynamique des rayonnements »], Mineola, Dover, coll. « Dover books on physics », 1999, 2^e éd. (1^re éd. 1984), XV-718 p., 22 cm (ISBN 0-486-40925-2, OCLC 491781911, BNF 39110119, SUDOC 059568119, présentation en ligne, lire en ligne).

Métrique intérieure de Schwarzschild

La métrique intérieure de Schwarzschild s'écrit :

$\mathrm {d} s^{2}=-{\frac {c^{2}}{4}}\left(3{\sqrt {1-{\frac {2GM}{ac^{2}r}}}}-{\sqrt {1-{\frac {2GM}{a^{3}c^{2}}}r}}\right)^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-{\frac {2GM}{a^{3}c^{2}}}r}}+r^{2}\mathrm {d} \Omega ^{2}$

Bibliographie

• (en) Moataz H. Emam, Covariant physics : from classical mechanics to general relativity and beyond, Oxford, OUP, mai 2021, 1^re éd., XVII-384 p., 25 cm (ISBN 978-0-19-886489-9 et 978-0-19-886500-1, EAN 9780198864899, OCLC 1198976638, DOI 10.1093/oso/9780198864899.001.0001, présentation en ligne, lire en ligne).

Coordonnées d'Israel

Les coordonnées d'Israel sont un système de coordonnées d'espace-temps utilisées pour étudier la métrique de Schwarzschild.

En coordonnées d'Israel, la métrique de Schwarzschild s'écrit : $\mathrm {d} s^{2}=4m^{2}\left[4\mathrm {d} x\left(\mathrm {d} y+{\frac {y^{2}\mathrm {d} x}{1+xy}}\right)+\left(1+xy\right)^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \phi ^{2}\right)\right]$.

Alessandro Roussel

ScienceClic

Alessandro Roussel est un vidéaste web franco-italien, né le 17 août 1998 (25 ans) à Suresnes (Hauts-de-Seine, Île-de-France, France). Il est le créateur de ScienceClic, une chaîne YouTube scientifique francophone.

En novembre 2018, ScienceClic figure au nombre des « chaînes YouTube culturelles et scientifiques francophones potentiellement adaptées à un usage éducatif » recensées par la Délégation générale à la langue française et aux langues de France (DGLFLF) de ministère de la Culture. En 2019, Roussel est sélectionné pour participer au premier concours « E-toiles de science », organisé dans le cadre du 15^e festival Pariscience. En septembre 2020, ScienceClic figure au nombre des vingt-six « ÉduTubeurs » mis en avant par YouTube France. Des images créées par Roussel sont utilisées comme illustrations dans des manuels ou des publications scientifiques.

Voir aussi

Bibliographie

• [Mathieu 2018] Thibauld Mathieu, « Bac 2018 : ces youtubeurs qui vous aident à réviser », Europe 1,‎ 14 juin 2018 (lire en ligne).
• [Patri 2020] Alexis Patri, « EduTubers : YouTube fait sa rentrée en valorisant ses vidéastes pédagogues », Europe 1,‎ 2 sept. 2020 (lire en ligne).
• [Hutin 2018] Mathilde Hutin (inventaire), Les chaînes Youtube culturelles et scientifiques francophones, Paris, Ministère de la Culture, Délégation générale à la langue française et aux langues de France, nov. 2018, 1 vol., 64, 21 × 29,7 cm (lire en ligne [PDF]), § 9, s.v. ScienceClic, p. 30.
• [Davelaar et al. 2019] (en) Jordy Davelaar, Hector Olivares, Oliver Porth, Thomas Bronzwaer, Michael Janssen, Freek Roelofs, Yosuke Mizuno, Christian M. Fromm, Heino Falcke et Luciano Rezzolla, « Modeling non-thermal emission from the jet-launching region of M 87 with adaptive mesh refinement », Astronomy & Astrophysics, vol. 632,‎ déc. 2019, A2, 16 p. (DOI 10.1051/0004-6361/201936150, Bibcode 2019A&A...632A...2D, arXiv 1906.10065, résumé).
• [Ruffenach et al. 2017] Mathieu Ruffenach (dir.), Audrey Brun, Stéphanie Chivas, Ludovic Denocq, Olivier Krygiel et Adeline Marois, Physique-chimie : cycle 4 (5^e, 4^e, 3^e) : programme 2016, Paris, Bordas, coll. « Espace / Collège », avr. 2017, 1 vol., 481, ill., 19,2 × 24,8 cm (ISBN 978-2-04-733374-7, EAN 9782047333747, OCLC 989514309, BNF 45297718, SUDOC 201679426, présentation en ligne, lire en ligne).
• [McDonald's France 2016] McDonald's France, « ScienceClic », Air, le mag, n^o 72,‎ sept. 2016, p. 4, col. 1 (lire en ligne).
• [Poulle 2020] Marion Poulle, « Rentrée 2020 : Youtube met en avant les ÉduTubeurs », PureBreak,‎ 2 sept. 2020 (lire en ligne).
• [Nazé 2019a] Yaël Nazé, « Margot, 7 ans : « Comment la Terre s'est formée ? » », The Conversation,‎ 8 janv. 2019 (lire en ligne) :
  • [Nazé 2019b] Yaël Nazé, « Mais au fait, comment la Terre s'est formée ? », Ouest-France,‎ 9 janv. 2019 (lire en ligne) ;
  • [Nazé 2019c] Yaël Nazé, « Margot, 7 ans : « Comment la Terre s'est formée ? » », Sud Ouest,‎ 28 août 2019 (lire en ligne).
• [Martin 2019] Nicolas Martin, « Quark : la particule ultime ? », France Culture,‎ 12 nov. 2019 (lire en ligne).
• [Que faire à Paris ? 2019] « E-toiles de science (2) : un peu plus corsé », Que faire à Paris ?,‎ 27 oct. 2019 (lire en ligne).

Liens externes

• Site officiel d'Alessandro Roussel.
• ScienceClic, chaîne YouTube d'Alessandro Roussel.
• « Alessandro Roussel » (présentation), sur l'Internet Movie Database.

Effet Einstein

Présentation générale

L'effet Einstein est un effet physique, purement relativiste et universel, de décalage en fréquence d'un phénomène périodique.

Il est universel en ce sens qu'il s'applique à n'importe quel phénomène physique périodique.

Il est purement relativiste en ce sens qu'il s'explique par la disparité entre les durées propres enregistrées dans des régions où les potentiels gravitationnels sont différents.

Le décalage spectral est un cas particulier de l'effet Einstein, lorsque le phénomène périodique utilisé est une onde électromagnétique. Le décalage spectral observé est soit un décalage vers le rouge, soit un décalage vers le bleu.

Histoire

L'éponyme de l'effet Einstein n'est autre qu'Albert Einstein (1879-1955).

Bibliographie

• [Alexeev 2017] (en) Boris V. Alexeev, Nonlocal astrophysics : dark matter, dark energy and physical vacuum, Amsterdam, Elsevier, hors coll., juill. 2017, 1^re éd., 1 vol., XXI-[1]-456, 24 cm (ISBN 978-0-444-64019-2, EAN 9780444640192, OCLC 1061235619, BNF 45511607, DOI 10.1016/C2016-0-05329-9, SUDOC 228016614, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Earman et Glymour 1980] (en) John Earman et Clark Glymour, « The gravitational red shift as a test of general relativity : history and analysis », Stud. Hist. Philos. Sci. A, vol. 11, n^o 3,‎ sept. 1980, p. 175-214 (DOI 10.1016/0039-3681(80)90025-4, Bibcode 1980SHPS...11..175E, MR 590763, lire en ligne [PDF]).
• [Moatti 2007] Alexandre Moatti, Einstein, un siècle contre lui, Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », oct. 2007, 1^re éd., 1 vol., 305, 14,5 × 22 cm (ISBN 978-2-7381-2007-6, EAN 9782738120076, OCLC 421717580, BNF 41140564, SUDOC 119607336, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Pissondes 2015] Jean-Claude Pissondes, « Du concept à l'instrument : petite histoire de quelques bouleversements technologiques et de leur origine conceptuelle », J3eA, vol. 14, n^o 1 : « Colloque d'enseignement des technologies et des sciences de l'information et des systèmes – CETSIS 2014 »,‎ fév. 2015, art. n^o 1012, 10 p. (DOI 10.1051/j3ea/2015012, résumé, lire en ligne [PDF]).
• [Spagnou 2015] Pierre Spagnou, « Le principe d'équivalence et l'effet Einstein », Bibnum,‎ mai 2015, p. 26 p. (résumé, lire en ligne).
• [Spagnou 2017] Pierre Spagnou, « Einstein et l'article incompris de 1911 », Bibnum,‎ août 2017, p. 20 p. (résumé, lire en ligne).
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill., fig. et graph., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).

Expérience de Hughes-Drever

L'expérience de Hughes-Drever est une expérience de spectroscopie réalisée de façon indépendante en 1959 et 1960 par Vernon Hughes (1921-2003) et Ronald Drever (1931-2017) pour mettre à l'épreuve l'invariance de Lorentz. Elle consiste à mesurer avec précision les transitions hyperfines de l'atome de lithium 7 dans son état fondamental et placé dans un champ magnétique externe. Toute perturbation anisotrope conduit à un élargissement de la raie observée. L'observation d'une raie fine permit à Hughes et Drever de conclure qu'une brisure de l'invariance de Lorentz ne peut être présente qu'à un niveau plus faible que 10^–23.

Bibliographie

• [Hughes, Robinson et Beltran-Lopez 1960] (en) V. W. Hughes, H. G. Robinson et V. Beltran-Lopez, « Upper limit for the anisotropy of inertial mass from nuclear resonance experiments », Phys. Rev. Lett., vol. 4, n^o 7,‎ avr. 1960, p. 342-344 (OCLC 4639980846, DOI 10.1103/PhysRevLett.4.342, Bibcode 1960PhRvL...4..342H).
• [Drever 1961] (en) R. W. P. Drever, « A search for anisotropy of inertial mass using a free precession technique », Philos. Mag., 8^e série, vol. 6, n^o 65,‎ mai 1961, p. 683-687 (OCLC 4659231038, DOI 10.1080/14786436108244418, Bibcode 1961PMag....6..683D).
• [Hakim 2001] Rémi Hakim, Gravitation relativiste, Les Ulis et Paris, EDP Sciences et CNRS, coll. « Savoirs actuels / Astrophysique », juill. 2001, 2^e éd. (1^re éd. janv. 1994), 1 vol., XV-310, ill., 16 × 24 cm (ISBN 2-86883-370-5 et 2-271-05198-3, EAN 9782868833709, OCLC 50236119, BNF 39918721, SUDOC 060559675, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Peter et Uzan 2012] Patrick Peter et Jean-Philippe Uzan (préf. de Thibault Damour), Cosmologie primordiale, Paris, Belin, coll. « Échelles », fév. 2012, 2^e éd. (1^re éd. mai 2005), 1 vol., 816, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-7011-6244-7, EAN 9782701162447, OCLC 793482816, BNF 42616501, SUDOC 158540697, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill., fig. et graph., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).

Principe d'incertitude

Les relations d'indétermination d'Heisenberg sont un ensemble d'inégalités fondamentales : les inégalité d'Heisenberg.

Bibliographie

• [Atkins et De Paula 2013] Peter William Atkins et Julio De Paula (trad. de l'anglais par Jean Toullec et Monique Mottet), Chimie physique [« Physical chemistry »], Bruxelles, De Boeck Supérieur, coll. « Chimie », mai 2013, 4^e éd. (1^re éd. 1999), XXXVI-973 p., 27,5 cm (EAN 9782804166519, OCLC 857978451, BNF 43642948, SUDOC 16997779X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Omnès 2006] Roland Omnès, Les indispensables de la mécanique quantique, Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », septembre 2006, 1^re éd., 233 p., 22 cm (EAN 9782738118202, OCLC 421577043, BNF 40222129, SUDOC 109337999, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., 24 cm (EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.relations d'indétermination d'Heisenberg, p. 639 et encadré, p. 640.

Poussière (cosmologie)

La poussière est, en cosmologie, une composante de l'Univers constituée de particules massives, sans interactions autres que gravitationnelles, réparties de façon homogène. Elle est modélisée comme un gaz de pression nulle, celle-ci étant beaucoup plus faible que l'énergie de masse par unité de volume.

Voir aussi

Bibliographie

• [Lachièze-Rey 2013] M. Lachièze-Rey (avec la collab. de J. Ribassin), Initiation à la cosmologie, Paris, Dunod, coll. « Science Sup. », mai 2013, 5^e éd. (1^re éd. sept. 1992), 1 vol., VII-152, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-059239-5, EAN 9782100592395, OCLC 858206589, BNF 43619769, SUDOC 169390608, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Taillet, Villain et Febvre 2013] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., sér. phys., fév. 2013 (réimpr. fév. 2015), 3^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-899, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8041-7554-2, EAN 9782804175542, OCLC 842156166, BNF 43541671, SUDOC 167932349, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.poussière, 2, p. 546, col. 1.

Dérivation

$\mathrm {d} \tau ^{2}=\operatorname {F} (r)\mathrm {d} t^{2}-2\operatorname {E} (r)\mathrm {d} t\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -\operatorname {D} (r)\left(\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {C} (r)\mathrm {d} \mathbf {x} ^{2}$,

où $F$, $E$, $D$ et $C$ sont quatre fonctions de $r=\left(\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \right)^{\frac {1}{2}}$.

Remplaçons $x$ par les coordonnées sphériques $r,\theta ,\varphi$ définies comme suit :

${\begin{cases}x^{1}=r\sin \theta \cos \varphi \\x^{2}=r\sin \theta \sin \varphi \\x^{3}=r\cos \theta \end{cases}}$.

L'équation devient :

$\mathrm {d} \tau ^{2}=\operatorname {F} (r)\mathrm {d} t^{2}-2r\operatorname {E} (r)\mathrm {d} t\mathrm {d} r-r^{2}\operatorname {D} (r)\mathrm {d} r^{2}-\operatorname {C} (r)\left(\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}\right)$.

Définissons une nouvelle coordonnée $t'$ :

$t'=t+\operatorname {\Phi } (r)$.

L'équation devient :

$\mathrm {d} \tau ^{2}=\operatorname {F} (r)\mathrm {d} t'^{2}-\operatorname {G} (r)\mathrm {d} r^{2}-\operatorname {C} (r)\left(\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}\right)$,

où $\operatorname {G} (r)=r^{2}\left(\operatorname {D} (r)+{\frac {\operatorname {E} ^{2}(r)}{\operatorname {F} (r)}}\right)$.

Définissons une nouvelle coordonnées $r'$ :

$r'=\operatorname {C} (r)r^{2}$.

L'équation devient :

$\mathrm {d} \tau ^{2}=\operatorname {B} (r')\mathrm {d} t'^{2}-\operatorname {A} (r')\mathrm {d} r'^{2}-r'^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}\right)$,

où ${\begin{cases}\operatorname {B} (r')=\operatorname {F} (r)\\\operatorname {A} (r')=\left(1+{\frac {\operatorname {G} (r)}{\operatorname {C} (r)}}\right)+\left(1+{\frac {r}{2\operatorname {C} (r)}}{\frac {\mathrm {d} \operatorname {C} (r)}{\mathrm {d} r}}\right)^{-2}\end{cases}}$.

Les composantes non nulles du tenseur métrique sont :

$g_{tt}=\operatorname {B} (r)$, $g_{rr}=-\operatorname {A} (r)$, $g_{\theta \theta }=r^{2}$ et $g_{\varphi \varphi }=r^{2}\sin ^{2}\theta$.

Les composantes du tenseur de Ricci sont :

$R_{tt}=-{\frac {\operatorname {B''} (r)}{2\operatorname {A} (r)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\operatorname {B'} (r)}{\operatorname {A} (r)}}\left({\frac {\operatorname {A'} (r)}{\operatorname {A} (r)}}+{\frac {\operatorname {B'} (r)}{\operatorname {B} (r)}}\right)-{\frac {\operatorname {B'} (r)}{r\operatorname {A} (r)}}$

$R_{rr}={\frac {\operatorname {B''} }{2\operatorname {B} (r)}}-{\frac {1}{4}}{\frac {\operatorname {B'} (r)}{\operatorname {B} (r)}}\left({\frac {\operatorname {A'} (r)}{\operatorname {B} (r)}}+{\frac {\operatorname {B'} (r)}{\operatorname {B} (r)}}\right)-{\frac {\operatorname {A'} (r)}{r\operatorname {A} (r)}}$

$R_{\theta \theta }=-1+{\frac {r}{2\operatorname {A} (r)}}\left({\frac {\operatorname {B'} (r)}{\operatorname {B} (r)}}-{\frac {\operatorname {A'} (r)}{\operatorname {A} (r)}}\right)+{\frac {1}{\operatorname {A} (r)}}$

$R_{\varphi \varphi }=R_{\theta \theta }\sin ^{2}\theta$

$\mathrm {d} \tau ^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2GM}{r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}-r^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}-\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}\right)$.

Trou noir éternel

Le trou noir, décrit par la métrique, est un trou noir éternel.

• [Comins 2016] N. F. Comins (trad. de la 6^e éd. américaine par R. Taillet et L. Villain), À la découverte de l'Univers : les bases de l'astronomie et de l'astrophysique [« Discovering the essential Universe »], Bruxelles, De Boeck Sup., hors coll., août 2016, 2^e éd. (1^re éd. déc. 2011), 1 vol., XIX-480, ill., 21 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8073-0294-5, EAN 9782807302945, OCLC 957579963, BNF 45103679, SUDOC 19480870X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Susskind et Lindesay 2015] (en) L. Susskind et J. Lindesay, An introduction to black holes, information and the string theory revolution : the holographic universe [« Une introduction aux trous noirs, à l'information et à la révolution de la théorie des cordes : l'univers holographique »], Singapour, World Scientific, hors coll., déc. 2005, 1^re éd., 1 vol., XV-183, ill., 24 cm (ISBN 981-256-083-1 et 981-256131-5, EAN 9789812561312, OCLC 228785721, BNF 42042361, DOI 10.1142/5689, SUDOC 190134372, présentation en ligne, lire en ligne).

Weyl

• [Weyl 1917] (de) H. Weyl, « Zur Gravitationstheorie », Ann. Phys. (Berl.), vol. 359, n^o 18,‎ 1917, p. 117-145 (DOI 10.1002/andp.19173591804, Bibcode 1917AnP...359..117W).

55° 57′ 38″ N, 3° 12′ 59″ O