Théorème de Mittag-Leffler

théorème qui montre l’existence de fonctions méromorphes avec des pôles prescrits

En analyse complexe, le théorème de Mittag-Leffler montre l'existence de fonctions méromorphes avec des pôles prescrits. Il se rapproche en cela du théorème de factorisation de Weierstrass, qui affirme l'existence de fonctions holomorphes avec des zéros prescrits. Il doit son nom au mathématicien suédois Gösta Mittag-Leffler, qui a publié des versions de ce théorème en 1876 et 1884[1],[2],[3].

Magnus Gösta Mittag-Leffler, mathématicien suédois.

Théorème

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Soit   un ouvert de   et   un sous-ensemble sans point d'accumulation dans D. Pour tout a dans  , soit   un polynôme en  , sans terme constant. Alors il existe une fonction méromorphe   sur   n'ayant de pôles que dans E et telle que, quel que soit  ,   est holomorphe en a. En particulier, la partie négative du développement en série de Laurent de   en a est  [4].

Ébauche de preuve

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On remarque que dans le cas où   est fini, il suffit de prendre  . Si   n'est pas fini, on considère la somme finie    est un sous-ensemble fini de  . Même si   ne converge pas forcément quand F s'approche E, on peut toujours soustraire des fonctions rationnelles bien choisies dont les pôles ne sont pas dans D (données par le théorème de Runge), sans changer la partie négative du développement en série de Laurent de  , et ainsi garantir la convergence.

Exemple

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Supposons que l'on veuille une fonction méromorphe avec des pôles simples de résidu 1 en tous les entiers positifs. Avec les notations précédentes, soit   et  . Le théorème de Mittag-Leffler garantit l'existence d'une fonction méromorphe   dont la partie négative du développement en série de Laurent en   sera   pour tout entier positif  . Cette fonction   vérifie les propriétés souhaitées.

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mittag-Leffler's theorem » (voir la liste des auteurs).
  1. (sv) G. Mittag-Leffler, « En metod att analytiskt framställa en funktion af rational karakter, hvilken blir oändlig alltid och endast uti vissa föreskrifna oändlighetspunkter, hvilkas konstanter äro påförhand angifna », Öfversigt af Kongliga Vetenskaps-Akademiens förhandlingar Stockholm, vol. 33, no 6,‎ , p. 3-16.
  2. G. Mittag Leffler, « Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes dʼune variable indépendante », Acta Mathematica, vol. 4,‎ , p. 1-79 (DOI 10.1007/BF02418410).
  3. (en) Laura E. Turner, « The Mittag-Leffler Theorem: The origin, evolution, and reception of a mathematical result, 1876–1884 », Historia Mathematica, vol. 40, no 1,‎ , p. 36-83 (DOI 10.1016/j.hm.2012.10.002).
  4. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], Masson, p. 285.