Mesure spectrale

En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, une mesure spectrale est une application définie sur une tribu à valeurs dans l'espace des projections orthogonales d'un espace hilbertien et vérifiant des axiomes semblables à ceux qui définissent les mesures positives. Les mesures spectrales sont utilisées pour exprimer des résultats en théorie spectrale, tels que le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints.

Les mesures spectrales ont des propriétés similaires aux mesures réelles positives.

Définition formelle

Soit $(X,{\mathcal {A}})$ un espace mesurable, c'est-à-dire un ensemble $X$ muni d'une tribu ${\mathcal {A}}$. Une mesure spectrale, aussi appelée homorphisme spectral, est une application $\varphi$ définie sur l'algèbre ${\mathcal {M}}$ des fonctions complexes mesurables bornées sur $X$ ayant les propriétés suivantes :

1. $\varphi$ est un morphisme involutif de l'algèbre ${\mathcal {M}}$ dans l'algèbre involutive des opérateurs bornés dans un espace hilbertien ${\mathfrak {H}}$
2. Si $\xi \in {\mathfrak {H}}$, alors la fonction d'ensemble

$\nu (E)=\langle \varphi (E)\xi \mid \xi \rangle$

est une mesure à valeurs complexes.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Projection-valued measure » (voir la liste des auteurs).