Lemme de Calderón-Zygmund

En mathématiques, le lemme de Calderón-Zygmund est un résultat fondamental en théorie de Fourier, analyse harmonique, et théorie des intégrales singulières (en). Il porte le nom des mathématiciens Alberto Calderón et Antoni Zygmund.

Pour une fonction intégrable donnée $f$ : ℝ^d→ℂ, où ℝ^d dénote l'espace euclidien et ℂ dénote l'ensemble des nombres complexes, le lemme de Calderón-Zygmund donne une manière précise de partitionner ℝ^d en deux ensembles : l'un où $f$ est essentiellement petite ; l'autre constitué d'une collection dénombrable de cubes où $f$ est essentiellement grande, mais où l'on garde un certain contrôle de la fonction.

Ceci conduit à la décomposition de Calderón-Zygmund de $f$ associée à cette partition, dans laquelle $f$ est écrite comme la somme d'une « bonne » et d'une « mauvaise » fonction.

Lemme de Calderón–Zygmund

Lemme de recouvrement

Soient $f$ : ℝ^d→ℂ une fonction intégrable et $\alpha$ une constante strictement positive. Alors il existe des ensembles $F$ et $\Omega$ tels que :

1. $\mathbb {R} ^{d}=F\cup \Omega$ et $F\cap \Omega =\varnothing ;$
2. $|f(x)|\leqslant \alpha$ presque partout dans $F$ ;
3. $\Omega$ est une union de cubes $Q_{k}$, dont les intérieurs sont mutuellement disjoints, et tels que pour tout $k$ on ait :

$\alpha <{\frac {1}{m(Q_{k})}}\int _{Q_{k}}|f(x)|~\mathrm {d} x\leqslant 2^{d}\alpha .$

Décomposition de Calderón–Zygmund

$f$ étant donnée comme ci-dessus, on peut écrire $f$ comme la somme d'une « bonne » fonction $g$ et d'une « mauvaise » fonction $b$, $f=g+b$. Pour y parvenir, on définit

$g(x)=\left\{{\begin{array}{cc}f(x),&x\in F,\\{\frac {1}{m(Q_{j})}}\int _{Q_{j}}f(t)~\mathrm {d} t,&x\in Q_{j}^{o},\end{array}}\right.$

où $Q_{j}^{o}$ dénote l'intérieur de $Q_{j}$, et on pose $b=f-g$. En conséquence, nous avons :

$b(x)=0$ pour tout $\scriptstyle x\in F$

et $\int _{Q_{j}}b(x)~\mathrm {d} x=0$ pour chaque cube $Q_{j}.$

La fonction $b$ a ainsi pour support une collection de cubes sur lesquels $f$ est autorisée à être « grande », mais elle a en outre la propriété additionnelle bénéfique que sa valeur moyenne est zéro sur chacun de ces cubes. Simultanément $\scriptstyle |g(x)|\leqslant \alpha$ pour presque tout $x$ dans $F$, et sur chaque cube dans $\Omega$, $g$ est égal à la valeur moyenne de $f$ sur ce cube, qui grâce au recouvrement choisi est inférieur à $2^{d}\alpha$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Calderón–Zygmund lemma » (voir la liste des auteurs).
• (en) David Gilbarg (de) et Neil Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer-Verlag, 1983 (ISBN 3-540-41160-7)
• (en) Elias Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1970, 287 p. (ISBN 978-0-691-08079-6, lire en ligne)
• (en) Elias Stein et Timothy Murphy, Harmonic Analysis : Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals, Princeton University Press, 1993, 695 p. (ISBN 978-0-691-03216-0, lire en ligne)

Article connexe

• Lemme du soleil levant