Méthode de Halley
« Itération de Halley » redirige ici. Pour les autres significations, voir Itération (homonymie).
En analyse numérique, la méthode de Halley est un algorithme de recherche d'un zéro d'une fonction utilisé pour les fonctions d'une variable réelle dérivables deux fois et à dérivée seconde continue (i.e. C2). La méthode, présentée par l'astronome Edmond Halley[1], est une généralisation de la méthode de Newton, à convergence cubique.
Énoncé modifier
Soit f une fonction C² et a un zéro de f. La méthode de Halley consiste à itérer
![{\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {2f(x_{n})f'(x_{n})}{2{[f'(x_{n})]}^{2}-f(x_{n})f''(x_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142614c0378a1d61cb623c1352bf85b6b7bc4397)
à partir d'une valeur x0 proche de a.
Au voisinage de a, la suite vérifie :
- ,
avec K > 0 ; ce qui signifie que la convergence est donc (au pire) cubique.
Déduction modifier
La formule se déduit par exemple de la méthode de Newton appliquée à la fonction :
- ,
avec
![{\displaystyle g'(x)={\frac {2{[f'(x)]}^{2}-f(x)f''(x)}{2f'(x){\sqrt {f'(x)}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88dfe10fa56600f9202baa615d5c82674ceadb0c)
d'où le résultat. Si f′(c) = 0, cela ne s'applique que si g peut être prolongée en c.
Notes et références modifier
- Edmond Halley, « A new, exact, and easy method of finding the roots of any equations generally, and that without any previous reduction », Philosophical Transaction of the Royal Society, London, vol. 18, , p. 136-145
Voir aussi modifier
Liens internes modifier
Liens externes modifier
- (en) Eric W. Weisstein, « Halley's Method », sur MathWorld
- (en) Newton's method and high order iterations, Pascal Sebah et Xavier Gourdon, 2001
