Inégalité de Hilbert

L'inégalité de Hilbert est une inégalité classique en analyse, Elle remonte à un article du mathématicien allemand David Hilbert de 1888 et donne une majoration de certaines sommes doubles de nombres réels positifs. L'inégalité de Hilbert a été raffinée, généralisée et modifiée par de nombreux auteurs. Enfin, Hermann Weyl — par exemple dans sa thèse de habilitation Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems de 1908 — et en particulier Godfrey Harold Hardy ont effectué des recherches approfondies.

Énoncés

Une suite de nombres réels

Un premier énoncé concerne des suites de nombres réels positifs. Il est le suivant :

Hilbert (1) — Soient $a_{0},\dots ,a_{n}$ des nombres réels positifs ; alors

$\sum _{i=0}^{n}{\sum _{j=0}^{n}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq \pi \cdot \sum _{i=0}^{n}{{a_{i}}^{2}}.$

De fait, Hilbert a prouvé cette formule avec un facteur $2\pi$ ; le facteur $\pi$ est dû à son élève Issai Schur. Le facteur $\pi$ a été lui-même remplacé par $(n+1)\sin(\pi /(n+1)$ dans un article de H. Frazer de 1946. D. V. Widder a donné la précision supplémentaire :

Hilbert (1') — 

$\sum _{i=0}^{n}{\sum _{j=0}^{n}{\frac {a_{i}a_{j}}{i+j+1}}}\leq \pi \cdot \sum _{i=0}^{n}{\sum _{j=0}^{n}{{\frac {(i+j)!}{i!j!}}{\frac {a_{i}a_{j}}{2^{i+j+1}}}}}$

Suite double

Une deuxième série d'énoncés concerne des suites doubles ; voici la formulation donnée dans l'Encyclopædia of Mathematics :

Hilbert (2) — On a :

$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}b_{m}}{n+m}}<\ {\frac {\pi }{\sin(\pi /p)}}\left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}^{q}\right)^{1/q},$

avec $p>1,\ \ q={\frac {p}{p-1}},\ \ {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1,\ \ a_{n},b_{m}\geq 0,$.

Fu Cheng Hsiang a démontré l'inégalité suivante pour des suite de nombres réels positifs :

Hilbert (2') — 

$\sum _{i=0}^{n}{\sum _{j=0}^{n}{\frac {a_{i}b_{j}}{2i+2j+1}}}\leq (n+1)\cdot \sin {\frac {\pi }{2(n+1)}}\cdot \left(\sum _{i=0}^{n}{{a_{i}}^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left(\sum _{j=0}^{n}{{b_{j}}^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}$

Suite de nombres complexes

Une deuxième série d'énoncés concerne des suites de nombres complexes. L'inégalité de Hilbert est la suivante, d'après Steele :

Hilbert (3) — Soit $(u_{m})$ un suite de nombres complexes : si la suite est infinie, on la supose de carré sommable ($\sum _{m}|u_{m}|^{2}<\infty$). Alors

$\left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{r-s}}\right|\leq \pi \displaystyle \sum _{r}|u_{r}|^{2}.$

Pour une suite double, on a :

Hilbert (3') — Soient $a_{0},\dots ,a_{n},b_{0},\dots b_{n}$ des nombres complexes. Alors

${\Bigg |}\sum _{k,j=0}^{n}{\frac {a_{k}{\overline {b_{j}}}}{1+j+k}}{\Bigg |}\leq \pi {\sqrt {\sum _{p=0}^{n}|a_{p}|^{2}}}{\sqrt {\sum _{p=0}^{n}|b_{p}|^{2}}}.$

Une variante

Une variante avec les sommes remplacées par des intégrales :

Hilbert (4) — Soient $f,g\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$ deux fonctions non identiquement nulles, et soient $p,q$ des nombres réels avec ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$. Alors

$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {f(x)g(y)}{x+y}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y<{\frac {\pi }{\sin \left({\frac {\pi }{p}}\right)}}\cdot \left(\int _{0}^{\infty }{f^{p}(x)}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}\cdot \left(\int _{0}^{\infty }{g^{q}(x)}\,\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{q}}$

Bibliographie

• Dragoslav S. Mitrinović, Analytic inequalities : In cooperation with Petar Vasić, Springer, coll. « Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete » (n^o 165), 1970, vi + 400 (ISBN 3-540-62903-3, MR 0018226, zbMATH 0199.38101, lire en ligne)

• H. Frazer, « Note on Hilbert’s inequality », The Journal of the London Mathematical Society, vol. 21,‎ 1946, p. 7–9
• Godfrey Harold Hardy, « Note on a theorem of Hilbert », Mathematische Zeitschrift, vol. 6,‎ 1920
• G. H. Hardy, « Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive terms », Proceedings of the London Mathematical Society (2), vol. 23,‎ 1925
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood et G. Pólya, Inequalities : Reprint (of the 2. edition 1952), Cambridge, Cambridge University Press, 1973
• David Hilbert, « Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten », Mathematische Annalen, vol. 32,‎ 1888, p. 342–350 (lire en ligne)
• Fu Cheng Hsiang, « An inequality for finite sequences », Mathematica Scandinavica, vol. 5,‎ 1957, p. 12–14
• Edmund Landau, « A note on a theorem concerning series of positive terms », Journal of the London Mathematical Society, vol. 1,‎ 1926, p. 38–39

• J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz master class: an introduction to the art of mathematical inequalities, Cambridge University Press, coll. « MAA problem books », 2004 (ISBN 978-0-521-83775-0)

• Waadallah Tawfeeq Sulaiman, « Hardy-Hilbert's integral inequalities via homogeneous functions and some other generalizations », Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica, vol. 11,‎ 2007, p. 23–32 (MR 2391968)
• David Vernon Widder, « An Inequality Related to One of Hilbert’s », Journal of the London Mathematical Society, vol. 4,‎ 1929, p. 194–198 (MR 1575045, lire en ligne)
• Bicheng Yang et Qiang Chen, « A new extension of Hardy-Hilbert's inequality in the whole plane », Journal of Function Spaces,‎ 2016, article n^o 9197476 8 pages (MR 3548430)