Inégalité d'Olech-Opial

En mathématiques, l'inégalité d'Olech-Opial, connue aussi sous le nom d'inégalité d'Opial ou inégalité d'Olech-Opial-Beesack ou inégalité d'Olech-Opial-Levinson, se rencontre dans l'étude des problèmes aux limites en calcul différentiel. Elle porte le nom du mathématicien polonais Czesław Olech.

Énoncé

L'inégalité d'Olech-Opial s'énonce ainsi:

Inégalité d'Olech-Opial — Si $f\in {\mathcal {C}}^{1}([0,a])$ telle que $f(0)=f(a)=0$ et $\forall x\in ]0,a[,\ f(x)>0$, alors :

$\int _{0}^{a}\left|f(x)f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\leqslant {\frac {a}{4}}\int _{0}^{a}f'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.$

La borne ${\frac {a}{4}}$ est optimale et atteinte pour f constante linéaire par morceaux :

$f(x)={\begin{cases}Cx&\,{\text{ si }}0\leqslant x\leqslant {\frac {a}{2}}\\C(a-x)&\,{\text{ si }}{\frac {a}{2}}\leqslant x\leqslant a\end{cases}},C\in \mathbb {R} .$

Démonstration

On donnera la démonstration de Mallows, plus courte que les originales. On pose $g(x)=\int _{0}^{x}|f'(t)|\mathrm {d} t$, de sorte que $\forall x\in [0,a],|f(x)|\leqslant g(x)$. Ainsi :

$\int _{0}^{a}\left|f(x)f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\leqslant \int _{0}^{a}g(x)g'(x)\,\mathrm {d} x=g(a)^{2}.$

Or, l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne :

$g(a)^{2}=\left(\int _{0}^{a}|f'(t)|\mathrm {d} t\right)^{2}=\left(\int _{0}^{a}1\times |f'(t)|\mathrm {d} t\right)^{2}\leqslant \int _{0}^{a}\mathrm {d} t\times \int _{0}^{a}|f'(t)|^{2}\mathrm {d} t=a\int _{0}^{a}|f'(t)|^{2}\mathrm {d} t.$

ce qui permet de conclure.

Historique

Opial prouve l'inégalité en 1960 et Olech montre qu'elle reste valide dans des conditions plus faibles (pour f' non plus continue mais seulement de carré Lebesgue-intégrable). Beesack et Levinson sont parmi les premiers à donner des démonstrations plus simples de l'inégalité, ce dernier étendant le résultat aux fonctions à valeurs complexes.

Applications

L'inégalité d'Olech-Opial et ses variantes sont utilisées dans l'études des solutions d'équations intégro-différentielles et de problèmes aux limites.

Voir aussi

• Inégalité de Cauchy-Schwarz
• Inégalité de Wirtinger