Formulaire de mécanique

Cinématique : le rayon vecteur et ses dérivées successives

En coordonnées cartésiennes

${\boldsymbol {r}}=x{\boldsymbol {u}}_{x}+y{\boldsymbol {u}}_{y}+z{\boldsymbol {u}}_{z}$

La vitesse du point situé en r s'écrit

${\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}$,

et l'accélération

${\boldsymbol {a}}({\boldsymbol {r}})={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{x}+{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{y}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{z}$.

En coordonnées cylindriques

${\boldsymbol {r}}=\rho {\boldsymbol {u}}_{\rho }+z{\boldsymbol {u}}_{z}$

${\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }+\rho {\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{z}$.

${\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}=\left({\frac {{\text{d}}^{2}\rho }{{\text{d}}t^{2}}}-\rho \left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\right){\boldsymbol {u}}_{\rho }+\left(2{\frac {{\text{d}}\rho }{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}+\rho {\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}\right){\boldsymbol {u}}_{\varphi }+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{z}$.

Ces formules sont basées sur le fait que la dérivée temporelle de deux des vecteurs de base est non nulle :

${\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }$,

${\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {u}}_{\varphi }}{{\text{d}}t}}=-{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\rho }$.

En coordonnées sphériques

${\boldsymbol {r}}=r{\boldsymbol {u}}_{r}$,

${\boldsymbol {v}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{r}+r{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\theta }+r{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\sin \theta {\boldsymbol {u}}_{\varphi }$;

${\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}=a_{r}{\boldsymbol {u}}_{r}+a_{\theta }{\boldsymbol {u}}_{\theta }+a_{\varphi }{\boldsymbol {u}}_{\varphi }$,

avec:

$a_{r}=\left({\frac {{\text{d}}^{2}r}{{\text{d}}t^{2}}}-r\left({\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}\right)^{2}+r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)$,

$a_{\theta }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\theta }{{\text{d}}t^{2}}}+2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}-r\left({\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)$

$a_{\varphi }=\left(r{\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}\sin \theta +2{\frac {{\text{d}}r}{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}\sin \theta +2r{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}{\frac {{\text{d}}\theta }{{\text{d}}t}}\cos \theta \right)$.

Changement de référentiel

Soit un point de rayon vecteur r dans un référentiel ${\mathcal {R}}$. Soit un autre référentiel, ${\mathcal {R}}^{'}$, dont l'origine est située au rayon vecteur s dans ${\mathcal {R}}$. Le rayon vecteur du point, déterminé dans ${\mathcal {R}}'$ est alors

${\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {s}}$.

Les vitesses du point peuvent être mesurées dans ${\mathcal {R}}$ ou dans ${\mathcal {R}}'$. Elles sont notées avec l'indice ${\mathcal {R}}$ ou ${\mathcal {R}}'$, de même que les accélérations.

• Vitesse d'entraînement :

  ${\boldsymbol {v}}_{\rm {e}}={\dot {\boldsymbol {s}}}_{\mathcal {R}}+{\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\boldsymbol {r}}'$

• Loi de composition des vitesses :

  ${\boldsymbol {v}}_{\mathcal {R}}={\boldsymbol {v}}'_{{\mathcal {R}}'}+{\boldsymbol {v}}_{\rm {e}}$

• Accélération d'entraînement :

  ${\boldsymbol {a}}_{\rm {e}}={\ddot {\boldsymbol {s}}}_{\mathcal {R}}+{\dot {\boldsymbol {\Omega }}}\wedge {\boldsymbol {r}}'+{\boldsymbol {\Omega }}\wedge ({\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\boldsymbol {r}}')$

• Accélération de Coriolis :

  ${\boldsymbol {a}}_{\rm {c}}=2{\boldsymbol {\Omega }}\wedge {\dot {\boldsymbol {r}}}'_{{\mathcal {R}}'}$

• Loi de composition des accélérations :

  ${\boldsymbol {a}}_{\mathcal {R}}={\boldsymbol {a}}'_{{\mathcal {R}}'}+{\boldsymbol {a}}_{\rm {e}}+{\boldsymbol {a}}_{\rm {c}}$

Dynamique

Quelques forces

• Poids :

  ${\boldsymbol {P}}=m{\boldsymbol {g}}$

• Interaction électromagnétique entre deux particules séparées par une distance d:

  ${\boldsymbol {F}}_{1\rightarrow 2}={\frac {q_{1}q_{2}}{4d^{2}\pi \varepsilon _{0}}}$

• Interaction gravitationnelle entre deux corps séparés par une distance d:

  ${\boldsymbol {F}}_{1\rightarrow 2}=-Gm_{1}m_{2}{\frac {1}{d^{2}}}$

• Tension d'un ressort de raideur k et d'allongement u :

  ${\boldsymbol {F}}=-k{\boldsymbol {u}}$

• Frottement fluide :

  ${\boldsymbol {F}}=-\lambda {\boldsymbol {v}}$

• Force d'inertie d'entraînement :

  ${\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}}=-m{\boldsymbol {a}}_{e}$

• Force d'inertie de Coriolis:

  ${\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}}=-m{\boldsymbol {a}}_{c}$

Principe fondamental de la dynamique

• Vecteur quantité de mouvement :

  ${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$ (en général)

• Principe fondamental de la dynamique :

  ${\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {p}}}{{\text{d}}t}}=\sum {\boldsymbol {F}}\;+{\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}}+{\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}}$

• Principe des actions réciproques : pour deux corps A et B,

  ${\boldsymbol {F}}_{A\rightarrow B}=-{\boldsymbol {F}}_{B\rightarrow A}$

Aspect énergétique

• Travail élémentaire d'une force F lors d'un déplacement dr:

  $\delta W={\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {r}}$

• Travail le long d'un chemin $\Gamma _{AB}$ :

  $\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{{\boldsymbol {r}}\in \Gamma _{AB}}\delta W({\boldsymbol {r}})=\int _{{\boldsymbol {r}}\in \Gamma _{AB}}{\boldsymbol {F}}\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {l}}({\boldsymbol {r}})$

• Puissance :

  ${\mathcal {P}}=\displaystyle {\frac {\delta W}{{\text{d}}t}}$

• On peut aussi définir la puissance comme étant le produit scalaire de la force appliquée au point M avec la vitesse du point :

  ${\mathcal {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}$

• Énergie cinétique d'un point matériel :

  $E_{\rm {c}}=\displaystyle {\frac {1}{2}}m|{\boldsymbol {v}}|^{2}$

• Théorème de l'énergie cinétique :

  $\displaystyle \Delta E_{\rm {c}}=\sum W({\boldsymbol {F}})\;+W({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}})+W({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}})$

• Énergie mécanique :

  $E_{\rm {m}}=E_{\rm {c}}+E_{\rm {p}}$

Énergie potentielle pour quelques forces conservatives

Chacune de ces énergies est définie à une constante près

• Pesanteur :

  $E_{\rm {p}}=mgz$..., ceci pour ${\boldsymbol {P}}=-mg{\boldsymbol {e}}_{z}$

• Ressort :

  $E_{\rm {p}}={\frac {1}{2}}k|{\boldsymbol {u}}|^{2}$

• Force de Coulomb :

  $E_{\rm {p}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{|{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}}$

• Gravitation :

  $E_{\rm {p}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}|}}$

Notion de Moment

• Moment cinétique d'un point r par rapport à un point r' :

  ${\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})=m({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\wedge {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})$

• Par rapport à un autre point r'' :

  ${\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}''}({\boldsymbol {r}})=({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'')\wedge m{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})+m({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}'')\wedge {\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})$

• Moment d'une force F au point de rayon vecteur r' :

  ${\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}=({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}')\wedge {\boldsymbol {F}}$

• Par rapport à un autre point r'' :

  ${\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}''}({\boldsymbol {r}})={\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {r}})+({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}'')\wedge {\boldsymbol {F}}$

• Théorème du moment cinétique :

  ${\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {L}}_{{\boldsymbol {r}}'}}{{\text{d}}t}}=\sum {\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {F}})\;+{\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{e}}})+{\boldsymbol {M}}_{{\boldsymbol {r}}'}({\boldsymbol {f}}_{\rm {i_{c}}})$.

Oscillateur

Oscillateur harmonique (sans amortissement)

• Équation différentielle de la forme :

  ${\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+\omega _{0}^{2}u=0$.

• Pulsation propre :

  $\omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}$

• Période propre:

  $T_{0}=\displaystyle {\frac {2\pi }{\omega _{0}}}$

• Solution sous la forme :

  $u(t)=A\cos(\omega _{0}t)+B\sin(\omega _{0}t)$.

Les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Oscillateur avec facteur d'amortissement λ

• Équation différentielle de la forme :

  ${\frac {{\text{d}}^{2}u}{{\text{d}}t^{2}}}+2\lambda {\frac {{\text{d}}u}{{\text{d}}t}}+\omega _{0}^{2}u=0$

• Trois cas selon la valeur du discriminant de l'équation caractéristique :

  $\Delta =4(\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2})$

  • $\Delta <0$, soit $\lambda <\omega _{0}$, alors

    $x(t)=e^{-\lambda t}\left[A\cos(\Omega t)+B\sin(\Omega t)\right]$ (régime pseudo-périodique)

    Pseudo-pulsation :

    $\Omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\lambda ^{2}}}$ ;

    Pseudo-période :

    $T=\displaystyle {\frac {2\pi }{\Omega }}$

  • $\Delta =0$, soit $\lambda =\omega _{0}$, alors

    $x(t)=(At+B)e^{-\lambda t}$ (régime critique)

  • $\Delta >0$, soit $\lambda >\omega _{0}$, alors

    $x(t)=e^{-\lambda t}(Ae^{{\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.t}+Be^{-{\sqrt {\lambda ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.t})$ (régime apériodique)

• Dans chaque cas, les constantes A et B sont déterminées par les conditions initiales.

Articles connexes

• Mécanique
• Mécanique newtonienne