Condition de Lindeberg

En théorie des probabilités, la condition de Lindeberg est une condition suffisante - et sous certaines conditions, aussi une condition nécessaire - pour le théorème central limite (TCL) à respecter pour une suite de variables aléatoires indépendantes[1],[2],[3]. Contrairement au TCL classique, qui impose que les variables aléatoires en question aient une variance finie et soient indépendantes et identiquement distribuées, la version de Lindeberg exige uniquement la variance finie, le respect de la condition de Lindeberg, et l'indépendance des variables. Cette condition est nommée d'après le mathématicien finlandais, Jarl Waldemar Lindeberg[4].

Formulation

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Soient   un espace probabilisé , et   des variables aléatoires indépendantes sur cet espace. Supposons que les valeurs   et les variances   existent et sont finies. De plus, soit  

Si la suite de variables aléatoires indépendantes   satisfait la condition de Lindeberg :

 

pour tout  , où 1{…} est la fonction caractéristique, alors le théorème central limite est respecté, i.e. les variables aléatoires

 

convergent en loi, lorsque  , vers une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.

La condition de Lindeberg est suffisante, mais généralement pas nécessaire (i.e. l'implication inverse n'est généralement pas vérifiée). Toutefois, si la suite de variables aléatoires indépendantes en question satisfait

 

alors la condition de Lindeberg est nécessaire et suffisante, i.e. elle est respectée si et seulement si le résultat du TCL l'est[5].

Remarques

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Théorème de Feller

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Le théorème de Feller peut être utilisé comme méthode alternative pour vérifier la condition de Lindeberg[6]. Soit   et, pour simplifier,  , le théorème établit que

si  ,   et   converge en loi vers une loi normale centrée réduite quand   alors   satisfait la condition de Lindeberg.

Ce théorème peut être utilisé pour infirmer que le théorème central limite est respecté pour   en raisonnant par l'absurde. Ce procédé impose de prouver que la condition de Lindeberg est fausse pour  .

Interprétation

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Parce que la condition de Lindeberg induit que   quand  , elle garantit que la contribution de n'importe quelle variable aléatoire   ( ) prise individuellement à la variance   est arbitrairement petite, pour des valeurs de   suffisamment grandes.

Voir aussi

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Références

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  1. (en) Patrick Billingsley, Probability and Measure, Wiley, , 622 p. (ISBN 9780471804789, lire en ligne), p. 369
  2. (en) Robert B. Ash et Catherine Doléans-Dade, Probability and measure theory, San Diego, Harcourt/Academic Press, , 516 p. (ISBN 0120652021), p. 307
  3. (en) Sidney I. Resnick, A probability path, Boston, Birkhäuser, , 464 p. (ISBN 081764055X, DOI 10.1007/978-0-8176-8409-9), p. 314
  4. (de) Jarl Waldemar Lindeberg, Mathematische Zeitschrift, Berlin, Julius Springer, , 328 p. (lire en ligne), pp. 211 - 225
  5. (en) Larry Goldstein, « A Probabilistic Proof of the Lindeberg-Feller Central Limit Theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 116, no 1,‎ , p. 45-60
  6. (en) Krishna B. Athreya et Soumendra N. Lahiri, Measure Theory and Probability Theory, Springer, , 624 p. (ISBN 978-0-387-32903-1, DOI 10.1007/978-0-387-35434-7), p. 348