En mathématiques et plus précisément en analyse fonctionnelle, le calcul opérationnel repose essentiellement sur un astucieux changement de variable basé sur la transformée de Laplace permettant l'algébrisation des symboles de dérivation et d'intégration des expressions mathématiques décrivant les phénomènes linéaires. Certains ingénieurs emploient de préférence la transformation de « Laplace-Carson », une constante ayant comme image la même constante.
L'expression : permet d'associer à toute fonction d'une variable dite « fonction origine » une « fonction image » . Ainsi la solution algébrique de l'équation image permet de retrouver, au moyen d'un tableau de correspondance opératoire, la solution de l'équation origine.
L'hypothèse fondamentale du calcul opérationnel est que toutes fonctions d'origine f(t) ont une valeur nulle pour toute valeur de t négative. Bien que négligé la plupart du temps dans la pratique, il convient cependant d'écrire les fonctions d'origines comme facteur de la fonction , dite fonction échelon-unité. Exemple : la forme d'origine de est .
La fonction U(t) échelon-unité est nulle pour toute valeur négative de t et égale à 1 pour toute valeur positive de t. Elle est représentée ci-dessous. Son symbole est la lettre grecque Upsilon majuscule et se lit « grand upsilon » de t. Elle se caractérise par son brusque passage de 0 à 1 entre 0- et 0+. Elle admet partout une dérivée nulle sauf en zéro où elle devient infinie.
Introduction à la fonction de Dirac (percussion-unité)modifier
Considérons une fonction telle que représentée ci-dessous. Elle est définie par :
pour ;
pour ;
pour .
La fonction a pour dérivée , représentée ci-dessous, caractérisée par :
pour ;
pour ;
pour .
Quel que soit , l'aire du rectangle est égal à l'unité.
Si l'on fait tendre vers zéro, tend vers et tend vers une fonction notée qui est notre fonction de Dirac (ou percussion-unité), caractérisée par deux valeurs :
quel que soit t sauf pour où la valeur de devient infinie, et
Soit une fonction à laquelle on fait subir une translation de la valeur à droite et parallèlement à l'axe des (voir représentations ci-dessus) de telle façon que :
N. Piskounov, Calcul différentiel et intégral, t. 2, Ellipses, , 12e éd. (1re éd. 1969, Mir) (lire en ligne), chap. XIX.13 (« Théorème de convolution »), p. 464-466