La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, on peut appeler produit direct un produit qui commute avec le foncteur d'oubli[réf. souhaitée]. C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.

Produit direct de deux magmas

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Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne   et F un ensemble muni d'une loi de composition interne  . On peut définir une loi de composition interne   sur le produit cartésien E×F de la façon suivante :

 

Propriétés

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  • Si   et   sont associatives, alors la loi   est associative.
  • Si   et   sont commutatives, alors la loi   est commutative.
  • Si   admet un élément neutre e et si   admet un élément neutre f, alors   est neutre pour  .
    • Si de plus x admet un symétrique x' pour   et si y admet un symétrique y' pour  , alors (x, y) admet (x', y') comme symétrique.

Produit direct de magmas

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Soit (Ei)iI une famille d'ensembles, chaque Ei étant muni d'une loi de composition interne  . On peut définir une loi de composition interne   sur le produit cartésien ∏iI Ei de la façon suivante :

 

Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou infini.

Propriétés

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  • Si chaque loi   est associative, la loi   est associative.
  • Si chaque loi   est commutative, la loi   est commutative.
  • Si chaque loi   possède un élément neutre ei (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche), la famille (ei)iI est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour  .
  • Si chaque loi   possède un élément neutre et si dans chaque Ei, un élément quelconque xi possède un symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) yi, alors la famille (xi)iI admet la famille (yi)iI comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).

En particulier, le produit direct d'une famille de groupes est un groupe.

Produit direct d'anneaux

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Soit (Ei)iI une famille d'ensembles, chaque Ei étant muni de deux lois   et  . On peut comme précédemment définir une loi  , produit direct des   et une loi  , produit direct des lois  .

Si chaque loi   est distributive par rapport à la loi  , alors la loi   est distributive par rapport à la loi  .

En particulier, si chaque Ei est muni d'une structure d'anneau, on construit ainsi un anneau produit direct.

Produit direct d'espaces vectoriels

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Soit une famille (Ei)iI d'espaces vectoriels sur un même corps K. Les lois suivantes font du produit cartésien ∏iI Ei un K-espace vectoriel, appelé produit de la famille (Ei)iI[1] :

 

Le vecteur nul est la famille (0)iI formée par les vecteurs nuls des espaces Ei.

Lorsque tous les Ei sont égaux à un même K-espace vectoriel E (par exemple à K, vu comme K-droite vectorielle), ∏iI Ei est l'espace vectoriel EI des applications de I dans E[2].

Notes et références

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  1. N. Bourbaki, Algèbre, chap. II, section 5 pour les produits infinis et p. A-II-10 pour les produits directs de modules.
  2. Roger Godement, Cours d'algèbre, 1966, Exemple 4, p. 166-167.

Article connexe

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Somme directe