Soient
(
a
n
)
n
∈
N
∗
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}
une suite de nombres réels ou complexes et
φ
{\displaystyle \varphi }
une fonction réelle ou complexe de classe C1 .
On pose
A
(
x
)
=
∑
1
≤
n
≤
x
a
n
.
{\displaystyle A(x)=\sum _{1\leq n\leq x}{a_{n}}.}
Alors, pour tout réel x ,
∑
1
≤
n
≤
x
a
n
φ
(
n
)
=
A
(
x
)
φ
(
x
)
−
∫
1
x
A
(
u
)
φ
′
(
u
)
d
u
{\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\varphi (n)=A(x)\varphi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\varphi '(u)\,\mathrm {d} u}
.
Il s'agit d'une intégration par parties dans une intégrale de Stieltjes , mais ce cas particulier peut se démontrer directement.
La fonction A est nulle sur ]–∞, 1[ donc si x < 1 , l'équation se résume à 0 = 0.
Supposons désormais x ≥ 1 et notons N ≥ 1 sa partie entière (donc A (x ) = A (N ) ). La formule de sommation par parties donne :
∑
1
≤
n
≤
x
a
n
φ
(
n
)
−
A
(
x
)
φ
(
x
)
=
A
(
N
)
φ
(
N
)
−
∑
n
=
1
N
−
1
A
(
n
)
(
φ
(
n
+
1
)
−
φ
(
n
)
)
−
A
(
x
)
φ
(
x
)
=
−
∑
n
=
1
N
−
1
A
(
n
)
(
φ
(
n
+
1
)
−
φ
(
n
)
)
)
−
A
(
N
)
(
φ
(
x
)
−
φ
(
N
)
)
=
−
∑
n
=
1
N
−
1
∫
n
n
+
1
A
(
u
)
φ
′
(
u
)
d
u
−
∫
N
x
A
(
u
)
φ
′
(
u
)
d
u
=
−
∫
1
x
A
(
u
)
φ
′
(
u
)
d
u
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}{a_{n}\varphi (n)}-A(x)\varphi (x)&=A(N)\varphi (N)-\sum _{n=1}^{N-1}A(n){\big (}\varphi (n+1)-\varphi (n){\big )}-A(x)\varphi (x)\\&=-\sum _{n=1}^{N-1}A(n){\big (}\varphi (n+1)-\varphi (n)){\big )}-A(N){\big (}\varphi (x)-\varphi (N){\big )}\\&=-\sum _{n=1}^{N-1}\int _{n}^{n+1}A(u)\varphi '(u)\mathrm {d} u-\int _{N}^{x}A(u)\varphi '(u)\,\mathrm {d} u\\&=-\int _{1}^{x}A(u)\varphi '(u)\mathrm {d} u.\end{aligned}}}
Série des entiers
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En utilisant astucieusement la formule, on peut calculer des sommes et retrouver des résultats usuels. Par exemple, pour
a
n
=
1
{\displaystyle a_{n}=1}
et
φ
(
u
)
=
u
{\displaystyle \varphi (u)=u}
, en prenant x = N entier, on trouve (pour tout réel x ≥ 1 , ou même x > 0) :
∑
1
≤
n
≤
N
n
=
⌊
N
⌋
N
−
∫
1
N
⌊
u
⌋
d
u
=
N
2
−
∫
1
N
⌊
u
⌋
d
u
=
N
2
−
(
N
−
1
)
×
1
2
=
N
(
N
+
1
)
2
=
N
2
−
∫
1
N
(
u
−
{
u
}
)
d
u
=
N
2
−
∫
1
N
u
d
u
+
∫
1
N
{
u
}
d
u
=
N
2
−
N
2
−
1
2
+
(
N
−
1
)
×
1
2
=
N
(
N
+
1
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq N}n=\lfloor N\rfloor N-\int _{1}^{N}\lfloor u\rfloor \mathrm {d} u&=N^{2}-\int _{1}^{N}\lfloor u\rfloor \mathrm {d} u=N^{2}-(N-1)\times {\frac {1}{2}}={\frac {N(N+1)}{2}}\\&=N^{2}-\int _{1}^{N}(u-\{u\})\mathrm {d} u=N^{2}-\int _{1}^{N}u\,\mathrm {d} u+\int _{1}^{N}\{u\}\,\mathrm {d} u\\&=N^{2}-{\frac {N^{2}-1}{2}}+(N-1)\times {\frac {1}{2}}\\&={\frac {N(N+1)}{2}}.\end{aligned}}}
On reconnait ici la formule des nombres triangulaires .
Constante d'Euler-Mascheroni
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Pour
a
n
=
1
{\displaystyle a_{n}=1}
et
φ
(
u
)
=
1
/
u
{\displaystyle \varphi (u)=1/u}
, en notant
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
la partie entière de x , on trouve (pour tout réel x ≥ 1, ou même x > 0) :
∑
1
≤
n
≤
x
1
n
=
⌊
x
⌋
x
+
∫
1
x
⌊
u
⌋
u
2
d
u
{\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\mathrm {d} u}}
dont on déduit une expression intégrale de la constante d'Euler-Mascheroni :
γ
=
1
−
∫
1
∞
x
−
⌊
x
⌋
x
2
d
x
{\displaystyle \gamma =1-\int _{1}^{\infty }\ {\frac {x-\lfloor x\rfloor }{x^{2}}}\,{\rm {d}}x}
.
Séries de Dirichlet
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Pour toute série de Dirichlet classique
f
(
s
)
=
∑
n
=
1
+
∞
a
n
n
s
{\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}}
,
la formule sommatoire d'Abel, appliquée à
φ
(
u
)
=
u
−
s
{\displaystyle \varphi (u)=u^{-s}}
, montre que pour tout nombre complexe s de partie réelle strictement supérieure à 0 et à l'abscisse de convergence de la série[ 1] :
f
(
s
)
=
s
∫
1
∞
A
(
u
)
u
1
+
s
d
u
{\displaystyle f(s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u}
.
Ci-dessous, deux exemples. On en trouvera un autre dans l'article « Fonction de von Mangoldt ».
Fonction zêta de Riemann
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Pour
a
n
=
1
{\displaystyle a_{n}=1}
on obtient :
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
s
∫
1
∞
⌊
u
⌋
u
1
+
s
d
u
=
s
s
−
1
−
s
∫
1
∞
{
u
}
u
1
+
s
d
u
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,\mathrm {d} u={\frac {s}{s-1}}-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\{u\}}{u^{1+s}}}\,\mathrm {d} u}
.
Cette formule est valable pour Re (s ) > 1. On en déduit notamment le théorème de Dirichlet selon lequel la fonction zêta de Riemann ζ (s ) admet un pôle simple de résidu 1 en s = 1.
Inverse de la fonction zêta de Riemann
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Pour
a
n
=
μ
(
n
)
{\displaystyle a_{n}=\mu (n)}
(la fonction de Möbius ) :
∑
1
∞
μ
(
n
)
n
s
=
s
∫
1
∞
M
(
u
)
u
1
+
s
d
u
{\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\,\mathrm {d} u}}
.
Cette formule est valable pour Re (s ) > 1. Le symbole M désigne la fonction de Mertens , définie par
M
(
u
)
=
∑
1
≤
n
≤
u
μ
(
n
)
{\displaystyle M(u)=\sum _{1\leq n\leq u}{\mu (n)}}
.
↑ C'est un cas particulier d'une propriété des séries de Dirichlet générales qui se démontre de la même façon.